已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（12）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（x-y1-xy），又数列{an}满足a1=12，an+1=2an1+a2n，设bn=1f(a1)+1f(a2)+…+1f(an)．（1）证明：-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（12）=-1，且当x，y∈（-1，1）时..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（

1

2

）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），又数列{a_n}满足a₁=

1

2

，a_n+1=

2an

1+

a

2n

，设b_n=

1

f(a1)

+

1

f(a2)

+…+

1

f(an)

．
（1）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（2）求f（a_n）的表达式；
（3）是否存在正整数m，使得对任意n∈N，都有b_n＜

m-8

4

成立，若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：令x=y=0，则f（0）=0，再令x=0，得f（0）-f（y）=f（-y），
∴f（-y）=-f（y），y∈（-1，1），
∴f（x）在（-1，1）上为奇函数．（3分）
（2）∵f(a1)=f(

1

2

)=-1，由(1)知f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，
∴f(an+1)=f(

2an

1+

a

2n

)=f(

an+an

1+an?an

)=f(an)+f(an)=2f(an)，
即

f(an+1)

f(an)

=2
∴{f（a_n）}是以-1为首项，2为公比的等比数列，
∴f（a_n）=-2^n-1．（7分）
（3）∵bn=-(1+

1

2

+

1

22

++

1

2n-1

)=-

1-

1

2n

1-

1

2

=-2+

1

2n-1

．
若bn＜

m-8

4

恒成立（n∈N₊），则-2+

1

2n-1

＜

m

4

-2，即m＞

4

2n-1

．
∵n∈N₊，∴当n=1时，

4

2n-1

有最大值4，故m＞4．
又∵m∈N，∴存在m=5，使得对任意n∈N₊，有bn＜

m-8

4

．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（12）=-1，且当x，y∈（-1，1）时..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：