已知函数f（x）=x2-x，g（x）=lnx-f（x）f‘（x）（1）求g（x）的最大值及相应x的值；（2）对任意的正数x，恒有f(x)+f(1x)≥(x+1x)ln(m2-2m-2)，求实数m的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2-x，g（x）=lnx-f（x）f‘（x）（1）求g（x）的最大值及相应..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²-x，g（x）=lnx-f（x）f'（x）
（1）求g（x）的最大值及相应x的值；
（2）对任意的正数x，恒有f(x)+f(

1

x

)≥(x+

1

x

)ln(m2-2m-2)，求实数m的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解（1）g（x）=lnx-（x²-x）（2x-1）=lnx-2x³+3x²-x，
g′(x)=

1

x

-6x2+6x-1=

(1-x)(6x2+1)

x

，(x＞0)，
当0＜x＜1时，g'（x）＞0；当x＞1时，g'（x）＜0，
所以g（x）在（0，1]上是增函数，在[1，+∞）上是减函数，
所以，当x=1时，g（x）取得最大值g（1）=0；
（2）f(x)+f(

1

x

)≥(x+

1

x

)ln(m2-2m-2)，即(x2-x+

1

x2

-

1

x

)≥(x+

1

x

)ln(m2-2m-2)，
可化为(x+

1

x

)2-2-(x+

1

x

)≥(x+

1

x

)ln(m2-2m-2)①，
因为x＞0，所以x+

1

x

≥2（当x=1时取到等号），
设x+

1

x

=t(t≥2)，①可化为t²-2-t≥tln（m²-2m-2），即ln(m2-2m-2)≤t-

2

t

-1当t≥2时恒成立，
令h(t)=t-

2

t

-1，h′(x)=1+

2

t2

＞0，
所以h（t）在[2，+∞）上是增函数，所以h（t）≥h（2）=0，于是ln（m²-2m-2）≤0，
解不等式0＜m²-2m-2≤1，解得-1≤m＜1-

3

，1+

3

＜m≤3，
所以m的最大值为3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2-x，g（x）=lnx-f（x）f‘（x）（1）求g（x）的最大值及相应..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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