已知三棱锥A-BCD的棱长均为a，E为AD的中点，连接CE．（1）请作出AO⊥面BCD于O，则O是△BCD的外心吗？（2）求二面角A-CD-B的平面角的余弦值．（3）求CE与底面BCD所成角的正弦值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知三棱锥A-BCD的棱长均为a，E为AD的中点，连接CE．（1）请作出AO⊥..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-02 07:30:00

试题原文

已知三棱锥A-BCD的棱长均为a，E为AD的中点，连接CE．
（1）请作出AO⊥面BCD于O，则O是△BCD的外心吗？
（2）求二面角A-CD-B的平面角的余弦值．
（3）求CE与底面BCD所成角的正弦值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：柱、锥、台、球的结构特征

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）作AO⊥平面BCD，垂足为O，O三角形BCD的中心．
连接DO作EO₁⊥OD交OD于O₁点，连接CO₁
∵AB=AC=AD=a，AO⊥平面BCD∴O为△BCD为外心
（2）作AF⊥CD交CD于F，连接OF．
∵AO⊥平面BCD∴AO⊥CD
又∵AF⊥CD∴CD⊥平面AFO
∴CD⊥OF∴∠AFO为二面角A-CD-B的平面角．
在Rt△AOF中AF=

3

2

a，AO=

6

3

a
∴cos∠AFO=

1

3

．
（3）∴OD=

2

3

×

3

2

a=

3

a∴在Rt△AOD中，AO=

a2-(

3

a)2

=

6

3

a
∵AE=DE，EO₁∥AO∴EO₁=

1

2

AO=

6

a
∵AO⊥平面BCD，EO₁∥AO∴EO₁⊥平面BCD
∴∠ECO₁是CE与平面BCD所成的角
在Rt△EO₁C中，sin∠ECO₁=

EO1

CE

=

6

a

3

2

a

=

2

3

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知三棱锥A-BCD的棱长均为a，E为AD的中点，连接CE．（1）请作出AO⊥..”的主要目的是检查您对于考点“高中柱、锥、台、球的结构特征”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中柱、锥、台、球的结构特征”。

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