已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1，E分别是棱C1D1的中点，试求：（1）AE与平面BB1C1C所成的角的正弦值；（2）二面角C1-DB-A的余弦值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1，E分别是棱C1D1的中点，试求：（1）AE..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-16 07:30:00

试题原文

已知单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E分别是棱C₁D₁的中点，试求：
（1）AE与平面BB₁C₁C所成的角的正弦值；
（2）二面角C₁-DB-A的余弦值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

以D为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示：
魔方格

（1）设正方体棱长为2．则E（0，1，2），A（2，0，0）．

AE

=(-2，1，2)，平面

BCC1B1

的法向量为

n

=(0，1，0)．
设AE与平面BCC₁B₁所成的角为θ．sinθ=|cos＜

AE

，

n

＞|=

|

AE

?

n

|

AE

| |

n

|

=

1

9

=

1

3

．
∴sinθ=

1

3

．
（2）A（1，0，0），B（1，1，0），C₁（0，1，1），
∴

DA

=(1，0，0)，

DB

=(1，1，0)，

DC1

=(0，1，1)．
设平面

DBC1

的法向量为

n1

=（x，y，z），则

n1

?

DB

=x+y=0

n1

?

DC1

=y+z=0

，
令y=-1，则x=1，z=1．∴

n1

=（1，-1，1）．取平面ADB的法向量为

n2

=(0，0，1)．
设二面角C₁-DB-A的大小为α，从图中可知：α为钝角．
∵cos＜

n1

，

n2

＞=

n1

?

n2

|

n1

| |

n2

|

=

1

3

=

3

，
∴cosα=-

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1，E分别是棱C1D1的中点，试求：（1）AE..”的主要目的是检查您对于考点“高中用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题”。

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