对于集合M，定义函数fM（x）=-1，x∈M1，x?M，对于两个集合M，N，定义集合M△N={x|fM（x）?fN（x）=-1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，16}．（Ⅰ）写出fA（1）和fB（1）的值，并用-数学试题及答案

1、试题题目：对于集合M，定义函数fM（x）=-1，x∈M1，x?M，对于两个集合M，N，定..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-23 07:30:00

试题原文

对于集合M，定义函数f_M（x）=

-1，x∈M

1，x?M

，对于两个集合M，N，定义集合M△N={x|f_M（x）?f_N（x）=-1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，16}．
（Ⅰ）写出f_A（1）和f_B（1）的值，并用列举法写出集合A△B；
（Ⅱ）用Card（M）表示有限集合M所含元素的个数．
（ⅰ）求证：当Card（X△A）+Card（X△B）取得最小值时，2∈X；
（ⅱ）求Card（X△A）+Card（X△B）的最小值．

试题来源：海淀区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f_A（1）=1，f_B（1）=-1，
对于两个集合M，N，定义集合M△N={x|f_M（x）?f_N（x）=-1}．
A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，16}．
∴A△B={1，6，10，16}．…（3分）
（Ⅱ）设当Card（X△A）+Card（X△B）取到最小值时，X=W．
（ⅰ）证明：假设2?W，令Y=W∪{2}．
那么 Card（Y△A）+Card（Y△B）
=Card（W△A）-1+Card（W△B）-1
＜Card（W△A）+Card（W△B）．这与题设矛盾．
所以 2∈X，即当Card（X△A）+Card（X△B）取得最小值时，2∈X．…（7分）
（ⅱ）同（ⅰ）可得：4∈X且8∈X．
若存在a∈X且a?A∪B，则令Z=C_U{a}．
那么Card（Z△A）+Card（Z△B）
=Card（X△A）-1+Card（X△B）-1
＜Card（X△A）+Card（X△B）．
所以集合W中的元素只能来自A∪B．
若a∈A∪B且a?A∩B，同上分析可知：集合X中是否包含元素a，Card（X△A）+Card（X△B）的值不变．
综上可知，当W为集合{1，6，10，16}的子集与集合{2，4，8}的并集时，Card（X△A）+Card（X△B）取到最小值4．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“对于集合M，定义函数fM（x）=-1，x∈M1，x?M，对于两个集合M，N，定..”的主要目的是检查您对于考点“高中集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）”。

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