解：（1） ∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，
∴由条件可得RtΔAOC∽ RtΔCOB，
∴，由A、B坐标∴，解得OC=3（负值舍去），∴C（0，-3）
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-9），
∴-3=a（0+1）（0-9），解得a=，
∴二次函数的解析式为y=（x+1）（x-9），即y=x²-x-3；
（2） ∵AB为O′的直径，且A（-1，0），B（9，0），
∴OO′=4，O′（4，0），
∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，
∴∠BCD=45°，连结O′D，则∠BO′D=90°（同弦BD所对的圆心角）
∴D （4，-5），
直线BC解析式为y=x-3 、直线BD解析式为y=x-9
（3）①当DP₁∥CB时，能使∠PDB=∠CBD，
又∵DP₁∥CB，
∴设直线DP₁的解析式为y=x+n，
把D（4，-5）代入可求n=-，
∴直线DP₁解析式为y=x-，
DP₁与抛物线的交点满足x-=x²-x-3
∴点P₁坐标为
②当CQ∥BD时，求得圆上点Q（7，4），直线DQ与抛物线交于点P₂ （14，25）。
（答案不唯一）