解：（1）∵函数（x>0，m是常数）图像经过A（1，4），
∴m=4，
设BD，AC交于点E，据题意，可得B点的坐标为，D点的坐标为，
E点的坐标为，
∵a>1，
∴DB=a，AE=4-，
由△ABD的面积为4，即a（4-）=4，
得a=3，
∴点B的坐标为；
（2）证明：据题意，点C的坐标为（1，0），DE=1，
∵A>1，易得EC=，BE=a-1，
∴，，
∴，
∴DC∥AB；
（3）∵DC∥AB，
∴当AD=BC时，有两种情况：
①当AD∥BC时，四边形ADCB是平行四边形，
由（2）得，，
∴a-1=1，得a=2，
∴点B的坐标为（2，2），
设直线AB的函数解析式为y=kx+b，把点A，B的坐标代入，
得，解得，
∴直线AB的函数解析式是y=-2x+6；
②当AD与BC所在直线不平行时，四边形ADCB是等腰梯形，
则BD=AC，
∴a=4，
∴点B的坐标是（4，1），
设直线AB的函数解析式为y=kx+b，把点A，B的坐标代入，
得，解得，
∴直线AB的解析式是y=-x+5，
综上所述，所求直线AB的解析式是y=-2x+6或y=-x+5。