解：①∠AFE的大小不变，其度数为60°，理由为：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠C=60°，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
又∵∠BAD+∠ADB=120°，
∴∠CBE+∠ADB=120°，
∴∠BFD=60°，
则∠AFE=∠BFD=60°；
②正确的结论为：DC+CG的值为定值，理由如下：
连接AG，如图2所示：

∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABD=∠ACB=∠BAC=60°，
又CG为∠ACB的外角平分线，
∴∠ACG=60°，
又∵∠ADG=60°，
∴∠ADG=∠ACG，即A，D，C，G四点共圆，
∴∠DAG+∠DCG=180°，
又∵∠DCG=120°，
∴∠DAG=60°，
即∠DAC+∠CAG=60°，
又∵∠BAD+∠DAC=60°，
∴∠BAD=∠GAC，
在△ABD和△ACG中，
∵，
∴△ABD≌△ACG（ASA），
∴DB=GC，又BC=10，
则BC=BD+DC=DC+CG=10，
即DC+CG的值为定值。