不定方程a2+b2+c2=a2b2的所有整数解是_____

1、试题题目：不定方程a2+b2+c2=a2b2的所有整数解是______．

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2014-11-7 7:30:00

试题原文

不定方程a²+b²+c²=a²b²的所有整数解是______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：初中考察重点：一元二次方程的解法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

首先对c进行奇偶性分析：
（1）c=0时，方程化为a²+b²=a²b²，即（a²-1）（b²-1）=1由于a²-1与b²-1都是1的约数，
所以

a2-1=1

b2-1=1

，

a2-1=-1

b2-1=-1

以上方程组只能解出a=b=0，于是，方程有一组解a=b=c=0．
（2）c为奇数时，再对a，b进行奇偶性分析．
（i）若a和b同为奇数，则a²，b²，c²都是4k+1型，于是a²+b²+c²为4k+3型，而a²b²为4k+1型，等式不能成立，方程无解；
（ii）若a，b同为偶数，此时方程左边=a²+b²+c²为奇数，左边=a²b²为偶数，方程无解；
（iii）若a和b为一奇一偶，此时方程左边为4k+2型，右边为4k时，方程无解．
（3）c为偶数时，仍对a和b进行奇偶性分析：
（i）若a和b同为奇数，则方程左边为4k+2型，右边为奇数，方程无解；
（ii）若a和b为一奇一偶，则方程左边为奇数，右边为偶数，方程无解；
（iii）若a，b同为偶数，这时，方程两边均为4k型，需要再细致分析：
设a=2^mα，b=2ⁿβ，c=2^tr，其中m，n，t为非负整数，α，β，r为奇数．则方程化为2^2mα²+2²ⁿβ²+2^2tr²=2^2m+2nα²β²
当t最小时，方程两边约去2^2t，得2^2m-2tα²+2^2n-2tβ²+r²=α²β²?2^2m+2n-2t显然，方程左边为奇数，右边为偶数，方程无解；
当m最小时，方程两边约去2^2m得α²+2^2n-2mβ²+2^2t-2mr²=2²ⁿα²β²．
同样，方程左边为奇数，右边为偶数，方程无解；
当n最小时，同样可得方程无解．
当m=n=t时，则方程左边是奇数，而右边是偶数，方程无解；
综上讨论，方程a²+b²+c²=a²b²只有一组整数解a=0，b=0，c=0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“不定方程a2+b2+c2=a2b2的所有整数解是______．”的主要目的是检查您对于考点“初中一元二次方程的解法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中一元二次方程的解法”。

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