已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象过A（t1，y1）、B（t2，y2）两点，且满足a2+（y1+y2）a+y1y2=0．（1）证明y1=-a或y2=-a；（2）证明函数f（x）的图象必与x轴有两个交点；（3）若关于x的不等-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象过A（t1，y1）、B（t2，y2）两点，且..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-03 07:30:00

试题原文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象过A（t₁，y₁）、B（t₂，y₂）两点，且满足a²+（y₁+y₂）a+y₁y₂=0．
（1）证明y₁=-a或y₂=-a；
（2）证明函数f（x）的图象必与x轴有两个交点；
（3）若关于x的不等式f（x）＞0的解集为{x|x＞m或x＜n，n＜m＜0}，解关于x的不等式cx²-bx+a＞0．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：一元二次不等式及其解法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：∵a²+（y₁+y₂）a+y₁y₂=0，
∴（a+y₁）（a+y₂）=0，得y₁=-a或y₂=-a．
（2）证明：当a＞0时，二次函数f（x）的图象开口向上，图象上的点A、B的纵坐标至少有一个为-a且小于零，
∴图象与x轴有两个交点．
当a＜0时，二次函数f（x）的图象开口向下，图象上的点A、B的纵坐标至少有一个为-a且大于零，
∴图象与x轴有两个交点．
故二次函数f（x）的图象与x轴有两个不同的交点．
（3）∵ax²+bx+c＞0的解集为{x|x＞m或x＜n，n＜m＜0}．
根据一元二次不等式大于0取两边，从而可判定a＞0，
并且可得ax²+bx+c=0的两根为m，n，
∴

m+n=-

b

a

m?n=

c

a

＞0

，∴a＞0
∴

m+n

m?n

=

-

b

a

c

=-

b

c

．
而cx²-bx+a＞0?x²-

b

c

x+

a

c

＞0?x²+（

m+n

mn

）x+

1

mn

＞0?（x+

1

m

）（x+

1

n

）＞0，
又∵n＜m＜0，∴-

1

n

＜-

1

m

，∴x＞-

1

m

或x＜-

1

n

．
故不等式cx²-bx+a＞0的解集为{x|x＞-

1

m

或x＜-

1

n

}．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象过A（t1，y1）、B（t2，y2）两点，且..”的主要目的是检查您对于考点“高中一元二次不等式及其解法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中一元二次不等式及其解法”。

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