已知函数f（x）=x2﹣ax+a（a∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x1＜x2，使得不等式f（x1）＞f（x2）成立．设数列{an}的前n项和为Sn=f（n）．（1）求数列{a-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2﹣ax+a（a∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-05 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²﹣ax+a（a∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．设数列{a_n}的前n项和为S_n=f（n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设各项均不为零的数列{c_n}中，所有满足c_i﹣c_i+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{c_n}的变号数，令c_n=1﹣

（n为正整数），求数列{c_n}的变号数．

试题来源：江苏期末题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：一般数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，
∴△=a²﹣4a=0
∴a=0或4，
当a=0时，函数f（x）=x²在（0，+∞）上递增，
故不存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立；
当a=4时，函数f（x）=x²﹣4x+4在（0，2）上递减，
故存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
综上，得a=4，f（x）=x²﹣4x+4，∴S_n=n²﹣4n+4
n≥2 时，a_n=S_n﹣S_n﹣1=2n﹣5，n=1 时，a₁=1
∴a_n=

（2）∵c_n=1﹣

，
∴

∵n≥3时，C_n+1﹣C_n=

＞0，
∴n≥3时，数列{c_n}递增，
∵a₄=﹣

＜0，由

＞0
n≥5，可知a₄﹣a₅＜0，即n≥3时，有且只有1个变号数；
又∵C₁=﹣3，C₂=﹣5，C₃=﹣3，即C₁﹣C₂＜0，C₂﹣C₃＜0，
∴此处变号数有2个．
综上得数列共有3个变号数，即变号数为3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2﹣ax+a（a∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有..”的主要目的是检查您对于考点“高中一般数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中一般数列的通项公式”。

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