已知函数f(x)=x-ax+lnx（a为常数）．（Ⅰ）当a=5时，求f（x）的极值；（Ⅱ）若f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=x-ax+lnx（a为常数）．（Ⅰ）当a=5时，求f（x）的极值；（Ⅱ）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=x-a

x

+lnx（a为常数）．
（Ⅰ）当a=5时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．

试题来源：深圳一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）a=5时，f(x)=x-5

x

+lnx，∴f′(x)=1-

5

2

x

+

1

x

(x＞0)，=

2x-5

x

+2

2x

=

(2

x

-1)(

x

-2)

2x

x

o＜x＜

1

4

x=

1

4

1

4

＜x＜4

x=4

x＞4

f′（x）

+

0

-

0

+

f（x）

递增

极大值f(

1

4

)

递减

极小值f（4）

递增

∴，f(x)极大=-

9

4

-ln4，f（x）_极小=-6+ln4
（Ⅱ）解法1：∵f（x）在定义域（0，+∞）上是增函数，∴f'（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，即1-

a

2

x

+

1

x

≥0(x＞0)…（8分）∴

1

2

a≤

x

+

1

x

又

x

+

1

x

≥2（当且仅当x=1时，

x

+

1

x

=2）∴(

x

+

1

x

)min=2…（13分）∴a∈（-∞，4]
解法2：令t=

1

x

，则：g(t)=f′(x)=1-

a

2

t+t2≥0(t＞0)

a

4

≤0

g(0)≥0

或

a

4

＞0

g(

a

4

)≥0

解得，a≤0，或0＜a≤4，
∴a∈（-∞，4]

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x-ax+lnx（a为常数）．（Ⅰ）当a=5时，求f（x）的极值；（Ⅱ）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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