设x=-13是函数f（x）=x3+mx2+mx-2的一个极值点．（1）求函数f（x）的极值；（2）若方程f(-a)+f(a)2f（x）=在区间[-a，a]（a＞0）上恰有两个不同的实根，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设x=-13是函数f（x）=x3+mx2+mx-2的一个极值点．（1）求函数f（x）的极值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设x=-

1

3

是函数f（x）=x³+mx²+mx-2的一个极值点．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若方程

f(-a)+f(a)

2

f（x）=在区间[-a，a]（a＞0）上恰有两个不同的实根，求a的取值范围．

试题来源：温州二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=3x²+2mx+m …（1分）
∵x=-

1

3

是函数f（x）=x³+mx²+mx-2的一个极值点，
∴f′(-

1

3

)=

1

3

+

1

3

m=0
∴m=-1 …（3分）
∴f（x）=x³-x²-x-2，f′（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1）

x

(-∞，-

1

3

)

-

1

3

(-

1

3

，1)

1

（1，+∞）

f′（x）

+

0

-

0

+

f（x）

递增

极大值

递减

极小值

递增

∴f（x）有极大值f(-

1

3

)=-

49

27

，极小值f（1）=-3 …（5分）
（2）当0＜a＜1时，f（x）在[-a，-

1

3

]上单调递增，在[-

1

3

，a]上单调递减
∵[f(a)-

f(-a)+f(a)

2

]×[f(-a)-

f(-a)+f(a)

2

]=-[

f(a)-f(-a)

2

]2 ＜0
∴

f(-a)+f(a)

2

在f（-a）与f（a）之间
∴方程f(x)=

f(-a)+f(a)

2

在区间[-a，a]上不可能有两个不同的根．…（9分）
当a＞1时，f（x）在[-a，-

1

3

]上单调递增，在[-

1

3

，1]上单调递减，在[1，a]上单调递增
∴f（x）有极小值f（1）=-3
又∵

f(-a)+f(a)

2

=-a2-2＜-3=f(1)
∴方程f(x)=

f(-a)+f(a)

2

在区间[-a，a]上不可能有两个不同的根．…（12分）
当a=1时，f（x）在[-1，-

1

3

]上单调递增，在[-

1

3

，1]上单调递减
此时f（-1）=f（1）=-3
∴方程f(x)=

f(-1)+f(1)

2

=-3有两个根为±1．…（14分）
综上所述：a=1．…（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设x=-13是函数f（x）=x3+mx2+mx-2的一个极值点．（1）求函数f（x）的极值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：