发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-03 07:30:00
试题原文 |
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(Ⅰ)当a=1时,f(x)=(x2-2x+1)ex, ∴f′(x)=(2x-2)ex+(x2-2x+1)ex =(x2-1)ex, 令f′(x)=0,得x1=-1,x2=1, 列表讨论如下:
(Ⅱ)由题意得,f′(x)=(2ax-a-1)ex+[ax2-(a+1)x+1)ex =[ax2+(a-1)x-a]ex, 由f(x)在区间[0,1]上单调递减得,f′(x)≤0在[0,1]上恒成立, 即ax2+(a-1)x-a≤0在[0,1]上恒成立, 令g(x)=ax2+(a-1)x-a,x∈[0,1], ①当a=0时,g(x)=-x≤0在[0,1]上恒成立; ②当a>0时,g(x)=ax2+(a-1)x-a过点(0,-a), 即g(0)=-a<0,只需g(1)=a+a-1-a=a-1≤0,就满足条件; 解得a≤1,则此时0<a≤1, ③当a<0时,同理有g(0)=-a>0, ∴ax2+(a-1)x-a≤0在[0,1]上不可能恒成立, 综上得,所求的a的取值范围是[0,1]. (Ⅱ)由(Ⅰ)得f'(x)=(x2-1)ex, 假设当x>1时存在[m,n]使函数f(x)在[m,n]上的值域也是[m,n],且(n>m>1) ∵当x>1时,f'(x)=(x2-1)ex>0, ∴f(x)在区间(1,+∞)上是增函数, ∴
则问题转化为(x-1)2ex-x=0有两个大于1的不等实根. 设函数h(x)=(x-1)2ex-x(x>1),h′(x)=(x2-1)ex-1, 令φ(x)=(x2-1)ex-1,∴φ′(x)=(x2+2x-1)ex, 当x>1时,φ′(x)>0, ∴φ(x)在(1,+∞)上是增函数,即h′(x)在(1,+∞)上是增函数 ∴h′(1)=-1<0,h′(2)=3e2-1>0 ∴存在唯一x0∈(1,2),使得h′(x0)=0, 当x变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表:
∴h(x0)<h(1)=-1<0 ∵h(2)=e2-2>0 ∴当x>1时,h(x)的图象与x轴有且只有一个交点, 即方程(x-1)2ex-x=0有且只有一个大于1的根,与假设矛盾, 故当x>1时,f(x)不存在[m,n]使函数f(x)在[m,n]上的值域也是[m,n]. |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知函数f(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex,a∈R.(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)的极值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的单调性与导数的关系”。