己知函数f(x)=12(1+x)2-ln(1+x)（1）求f（x）的单调区间；（2）若x∈[1e-1，e-1]时，f（x）＜m恒成立，求m的取值范围；（3）若设函数g(x)=12x2+12x+a，若g（x）的图象与f（x）的图象在区间[0-数学试题及答案

1、试题题目：己知函数f(x)=12(1+x)2-ln(1+x)（1）求f（x）的单调区间；（2）若x∈[1e..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

己知函数f(x)=

1

2

(1+x)2-ln(1+x)
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若x∈[

1

e

-1，e-1]时，f（x）＜m恒成立，求m的取值范围；
（3）若设函数g(x)=

1

2

x2+

1

2

x+a，若g（x）的图象与f（x）的图象在区间[0，2]上有两个交点，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数定义域为（-1，+∞），∵f(x)=

1

2

(1+x)2-ln(1+x)∴f′（x）=

x(2+x)

1+x

，
由f'（x）＞0及x＞-1，得x＞0，由f'（x）＜0及x＞-1，得-1＜x＜0．
则递增区间是（0，+∞），递减区间是（-1，0）；
（2）由f′（x）=

x(2+x)

1+x

=0，得x=0或x=-2
由（1）知，f（x）在[

1

e

-1，0]上递减，在[0，e-1]上递增
又f（

1

e

-1）=

1

2e2

+1，f（e-1）=

1

2

e2-1，

1

2

e2-1＞

1

2e2

+1
∴x∈[

1

e

-1，e-1]时，[f（x）]_max=

1

2

e2-1，
∴m＞

1

2

e2-1时，不等式f（x）＜m恒成立；
（3）由

1

2

(1+x)2-ln(1+x)=

1

2

x2+

1

2

x+a得2a=（1+x）-2ln（1+x）
令h（x）=（1+x）-2ln（1+x），则h′（x）=

x-1

x+1

∴h（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增
∵h（0）=1，h（1）=2-2ln2，h（3）=3-2ln3，且h（1）＞h（2）＞h（1）
∴当2a∈（2-2ln2，3-2ln3），即a∈（1-ln2，

3

2

-ln3）时，g（x）的图象与f（x）的图象在区间[0，2]上有两个交点．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“己知函数f(x)=12(1+x)2-ln(1+x)（1）求f（x）的单调区间；（2）若x∈[1e..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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