函数f（x）=x3+ax2+x+2（x∈R）（1）当a=-1时，求函数的极值（2）若f（x）在x∈（-∞，∞）上是增函数，求实数a的取值范围．（3）（理科做，文科不用做）若a=3时，f（x）=x3+3x2+x+2的导函数f′（x）是-数学试题及答案

1、试题题目：函数f（x）=x3+ax2+x+2（x∈R）（1）当a=-1时，求函数的极值（2）若f（x）在..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

函数f（x）=x³+ax²+x+2（x∈R）
（1）当a=-1时，求函数的极值
（2）若f（x）在x∈（-∞，∞）上是增函数，求实数a的取值范围．
（3）（理科做，文科不用做）
若a=3时，f（x）=x³+3x²+x+2的导函数f^′（x）是二次函数，f^′（x）的图象关于轴对称．你认为三次函数f（x）=x³+3x²+x+2的图象是否具有某种对称性，并证明你的结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=-1时，f（x）=x³-x²+x+2，f′（x）=3x²-2x+1＞0恒成立，
故f（x）在R上是增函数，所以f（x）不存在极值；
（2）f（x）在x∈（-∞，∞）上是增函数，则有f′（x）≥0恒成立，
即3x²+2ax+1≥0恒成立，则△=4a²-4×3×1≤0，解得-

3

≤a≤

3

，
所以实数a的取值范围是[-

3

，

3

]．
（2）f（x）在x∈（-∞，∞）上是增函数，则有f′（x）≥0恒成立，
即3x²+2ax+1≥0恒成立，则△=4a²-4×3×1≤0，解得-

3

≤a≤

3

，
所以实数a的取值范围是[-

3

，

3

]．
（3）f（x）=x³+3x²+x+2的图象具备中心对称．
证明：f′（x）=3x²+6x+1的对称轴x=-1，现证f（x）的图象关于点C（-1，3）中心对称．
设M（x，y）是y=f（x）图象上任意一点，且M（x，y）关于C（-1，3）对称的点为N（x₀，y₀），
则

x+x0

2

=-1

y+y0

2

=3

，得

x0=-2-x

y0=6-y

，
因为f(x0)=x03+3x02+x0+2=（-2-x）³+3（-2-x）²+（-2-x）+2=-（x³+3x²+x+2）+6=-y+6=y₀，
故M关于点C（-1，3）对称的点N（x₀，y₀）也在函数y=f（x）的图象上，
所以f（x）的图象关于点C（-1，3）中心对称．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）=x3+ax2+x+2（x∈R）（1）当a=-1时，求函数的极值（2）若f（x）在..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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