已知函数f(x)=x+b1+x2为奇函数．（I）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；（II）解关于x的不等式f（1+2x2）+f（-x2+2x-4）＞0．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=x+b1+x2为奇函数．（I）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

x+b

1+x2

为奇函数．
（I）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
（II）解关于x的不等式f（1+2x²）+f（-x²+2x-4）＞0．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵函数f(x)=

x+b

1+x2

为定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，即b=0，
∴函数解析式为：f(x)=

x

x2+1

．
∴对f（x）求导数，得f′(x)=

(x2+1)-x?2x

(x2+1)2

=

1-x2

(x2+1)2

．
∵当x＞1时，f′(x)=

1-x2

(x2+1)2

＜0成立，
∴函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数．
（II）由f（1+2x²）+f（-x²+2x-4）＞0，得f（1+2x²）＞-f（-x²+2x-4）．
∵f（x）是奇函数，
∴-f（-x²+2x-4）=f（x²-2x+4）．
原不等式化为：f（1+2x²）＞f（x²-2x+4）．
又∵1+2x²≥1，x²-2x+4=（x-1）²+3＞1，且f（x）在[1，+∞）上为减函数，
∴1+2x²＜x²-2x+4，即x²+2x-3＜0，
解之得-3＜x＜1．
∴不等式f（1+2x²）+f（-x²+2x-4）＞0的解集是{x|-3＜x＜1}

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x+b1+x2为奇函数．（I）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：