M是具有以下性质的函数f（x）的全体：对于任意s，t＞0，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t）．（I）试判断函数f1（x）=log2（x+1），f2(x)=2x-1是否属于M？（II）证明：对于任意的x＞0，-数学试题及答案

1、试题题目：M是具有以下性质的函数f（x）的全体：对于任意s，t＞0，都有f（s）＞0，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

M是具有以下性质的函数f（x）的全体：对于任意s，t＞0，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t）．
（I）试判断函数f₁（x）=log₂（x+1），f2(x)=2x-1是否属于M？
（II）证明：对于任意的x＞0，x+m＞0（m∈R且m≠0）都有m[f（x+m）-f（x）]＞0；
（III）证明：对于任意给定的正数s＞1，存在正数t，当0＜x≤t时，f（x）＜s．

试题来源：昌平区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意可知，f₁（s）＞0，f₁（t）＞0，f₂（s）＞0，f₂（t）＞0，
若log₂（s+1）+log₂（t+1）＜log₂（s+t+1）成立
则（s+1）（t+1）＜s+t+1即st＜0
与已知任意s，t＞0即st＞0相矛盾，故f₁（x）?M； …（2分）
若2^s+2^t-2＜2^s+t-1成立则2^s+2^t-2^s+t-1＜0
即（2^s-1）（1-2^t）＜0
∵s，t＞0
∴2^s＞1，1-2^t＜0即（2^s-1）（1-2^t）＜0成立 …（4分）
故f₂（x）∈M．
综上，f₁（x）?M，f₂（x）∈M．…（5分）
（II）证明：当m＞0时，f（x+m）＞f（x）+f（m）＞f（x）
∴f（x+m）-f（x）＞0，
当m＜0时，f（x）=f（x+m-m）＞f（x+m）+f（-m）＞f（x+m）
∴f（x+m）-f（x）＜0
故m[f（x+m）-f（x）]＞0．…（9分）
（III）据（II）f（x）在（0．+∞）上为增函数，且必有f（2x）＞2f（x）（*）
①若f（1）＜s，令t=1，则0＜x≤t时 f（x）＜s；
②若f（1）＞s，则存在k∈N^*，使f（1）＜2^k=

1

t

，
由（*）式可得f（

1

2k

）＜

1

2

f（

1

2k-1

）＜…＜

1

2k

f（1）＜1＜s，
即当0＜x≤t时，f（x）＜s
综①、②命题得证． …（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“M是具有以下性质的函数f（x）的全体：对于任意s，t＞0，都有f（s）＞0，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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