已知函数f(x)=(a-12)x2+lnx(a∈R)．（Ⅰ）当a=1时，?x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=(a-12)x2+lnx(a∈R)．（Ⅰ）当a=1时，?x0∈[1，e]使不等式..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=(a-

1

2

)x2+lnx(a∈R)．
（Ⅰ）当a=1时，?x₀∈[1，e]使不等式f（x₀）≤m，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围．

试题来源：梅州一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）当a=1时，f(x)=

1

2

x2+lnx(x＞0)，
f′(x)=x+

1

x

可知当x∈[1，e]时f（x）为增函数，
最小值为f(1)=

1

2

，
要使?x₀∈[1，e]使不等式f（x₀）≤m，即f（x）的最小值小于等于m，
故实数m的取值范围是[

1

2

，+∞)
（2）已知函数f(x)=(a-

1

2

)x2+lnx(a∈R)．
若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，
等价于对任意x∈（1，+∞），f（x）＜2ax，
即(a-

1

2

)x2+lnx-2ax＜0恒成立．
设g(x)=(a-

1

2

)x2+lnx-2ax(x∈(1，+∞))．
即g（x）的最大值小于0.g′(x)=(x-1)(2a-1-

1

x

)
（1）当a≤

1

2

时，g′(x)=(x-1)(2a-1-

1

x

)＜0，
∴g(x)=(a-

1

2

)x2+lnx-2ax(x∈(1，+∞))为减函数．
∴g（1）=-a-

1

2

≤0
∴a≥-

1

2

∴

1

2

≥a≥-

1

2

（2）a≥1时，g′(x)=(x-1)(2a-1-

1

x

)＞0．
g(x)=(a-

1

2

)x2+lnx-2ax(x∈(1，+∞))为增函数，
g（x）无最大值，即最大值可无穷大，故此时不满足条件．
（3）当

1

2

＜a＜1时，g（x）在(1，

1

2a-1

)上为减函数，在(

1

2a-1

，+∞)上为增函数，
同样最大值可无穷大，不满足题意．综上．实数a的取值范围是[-

1

2

，

1

2

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=(a-12)x2+lnx(a∈R)．（Ⅰ）当a=1时，?x0∈[1，e]使不等式..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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