设y=f（x）为三次函数，且图象关于原点对称，当x=12时，f（x）的极小值为-1．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）证明：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）图象上任意两点的连线的斜率恒大于0．-数学试题及答案

1、试题题目：设y=f（x）为三次函数，且图象关于原点对称，当x=12时，f（x）的极小..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

设y=f（x）为三次函数，且图象关于原点对称，当x=

1

2

时，f（x）的极小值为-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）证明：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）图象上任意两点的连线的斜率恒大于0．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）
∵其图象关于原点对称，即f（-x）=-f（x）
得-ax³+bx²-cx+d=-ax³-bx²-cx-d
∴b=d=0，
则有f（x）=ax³+cx
由f′（x）=3ax²+c，依题意得f′（

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2

）=0
∴

3

4

a+c=0①
f（

1

2

）=

1

8

a+

1

2

c=-1②（5分）
由①②得a=4，c=-3故所求的解析式为：f（x）=4x³-3x．（6分）
（Ⅱ）由f′（x）=12x²-3＞0
解得：x＞

1

2

或x＜-

1

2

（8分）
∵（1，+∞）?（

1

2

，+∞）
∴x∈（1，+∞）时，函数f（x）单调递增；（10分）
设（x₁，y₁），（x₂，y₂）是x∈（1，+∞）时，
函数f（x）图象上任意两点，
且x₂＞x₁，则有y₂＞y₁∴过这两点的直线的斜率k=

y2-y1

x2-x1

＞0．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设y=f（x）为三次函数，且图象关于原点对称，当x=12时，f（x）的极小..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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