发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-14 07:30:00
试题原文 |
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(I)f′(x)=(3x2-12x+3)ex+(x3-6x2+3x+t)ex=(x3-3x2-9x+t+3)ex ∵f(x)有三个极值点,∴x3-3x2-9x+t+3=0有三个根, 令g(x)=x3-3x2-9x+t+3,g′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3) ∴g(x)在(-∞,-1),(3,+∞)上递增,(-1,3)上递减, ∵g(x)有三个零点, ∴
∴-8<t<24…(4分) (II)不等式f(x)≤x,即(x3-6x2+3x+t)ex≤x,即t≤xe-x-x3+6x2-3x. 转化为存在实数t∈[0,2],使对任意的x∈[1,m],不等式t≤xe-x-x3+6x2-3x恒成立. 即不等式0≤xe-x-x3+6x2-3x在x∈[1,m]上恒成立. 即不等式0≤e-x-x2+6x-3在x∈[1,m]上恒成立…(6分) 设φ(x)=e-x-x2+6x-3,则φ(x)=-g-x-2x+6. 设r(x)=φ(x)=-g-x-2x+6,则r′(x)=g-x-2,因为1≤x≤m,有r′(x)<0. 故r(x)在区间[1,m]上是减函数…(8分) 又r(1)=4-e-1>0,r(2)=2-e-2>0,r(3)=-e-3<0 故存在x0∈(2,3),使得r(x0)=φ′(x0)=0. 当1≤x<x0时,有φ′(x)>0,当x>x0时,有φ′(x)<0. 从而y=φ(x)在区间[1,x0)上递增,在区间(x0,+∞)上递减…(10分) 又φ(1)=e-1+4>0,φ(2)=e-2+5>0,φ(3)=e-3+6>0 φ(4)=e-4+5>0,φ(5)=e-5+2>0,φ(6)=e-6-3<0 所以当1≤x≤5时,恒有φ(x)>0;当x≥6时,恒有φ(x)<0; 故使命题成立的正整数m的最大值为5.…(12分) |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知函数f(x)=(x3-6x2+3x+t)ex,(t∈R,e为自然对数的底数).(Ⅰ)若..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的极值与导数的关系”。