已知a为实数，x=4是函数f（x）=alnx+x2-12x的一个极值点．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有且仅有3个交点，求b的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知a为实数，x=4是函数f（x）=alnx+x2-12x的一个极值点．（Ⅰ）求a的值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

已知a为实数，x=4是函数f（x）=alnx+x²-12x的一个极值点．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有且仅有3个交点，求b的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵函数f（x）=alnx+x²-12x，
∴f′（x）=

a

x

+2x-12，
∵x=4是函数f（x）=alnx+x²-12x的一个极值点，
∴f′（4）=0，得

a

4

+8-12=0，得a=16；
（Ⅱ）当a=16时，f（x）=16lnx+x²-12x，f′（x）=

16

x

+2x-12=

2(x-2)(x-4)

x

，

当f′（x）＞0时，可得x＞4或者0＜x＜2；
当f′（x）＜0时，可得2＜x＜4；
∴函数f（x）的单调增区间为：（4，+∞），（0，2）；
函数f（x）的单调减区间为：（2，4）；
（Ⅲ）直线y=b与函数y=f（x）的图象有且仅有3个交点，f（4）=16ln4-32，f（2）=16ln2-20，
由（Ⅱ）知f（x）在x=2出去极大值，在x=4出取极小值，
画出f（x）的草图：
直线y=b与函数y=f（x）的图象有且仅有3个交点，
∴直线y=b必须在直线l和直线n之间，
∴f（4）＜b＜f（2），
即161n4-32＜b＜16ln2-20，；

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a为实数，x=4是函数f（x）=alnx+x2-12x的一个极值点．（Ⅰ）求a的值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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