已知复数z满足|2z+1z|=1，则z的幅角主值范围是_____

1、试题题目：已知复数z满足|2z+1z|=1，则z的幅角主值范围是______．

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-09 07:30:00

试题原文

已知复数z满足|2z+

1

z

|=1，则z的幅角主值范围是______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：复数的概念及几何意义

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设z=r（cosθ+isinθ），则|2z+

1

z

|=1?4r⁴+（4cos2θ-1）r²+1=0，
这个等式成立等价于关于x的二次方程4x²+（4cos2θ-1）x+1=0有正根．
△=（4cos2θ-1）²-16≥0，
∴16cos²2θ-8cos2θ-15≥0，
∴cos2θ≤-

3

4

或cos2θ≥

5

4

（舍去）．
又x₁x₂=

1

4

＞0，
故必须x₁+x₂=-

4cos2θ-1

4

＞0．
∴cos2θ＜

1

4

．
∴cos2θ≤-

3

4

，
∴（2k+1）π-arccos

3

4

≤2θ≤（2k+1）π+arccos

3

4

．
∴kπ+

π

2

-

1

2

arccos

3

4

≤θ≤kπ+

π

2

+

1

2

arccos

3

4

，（k=0，1）．
故答案为：[

π

2

-

1

2

arccos

3

4

，

π

2

+

1

2

arccos

3

4

]∪[

3π

2

-

1

2

arccos

3

4

，

3π

2

+

1

2

arccos

3

4

]

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知复数z满足|2z+1z|=1，则z的幅角主值范围是______．”的主要目的是检查您对于考点“高中复数的概念及几何意义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中复数的概念及几何意义”。

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