设函数f（x）=lg（x+x2+1）．（1）确定函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性；（3）证明函数f（x）在其定义域上是单调增函数；（4）求函数f（x）的反函数．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=lg（x+x2+1）．（1）确定函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-13 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=lg（x+

x2+1

）．
（1）确定函数f （x）的定义域；
（2）判断函数f （x）的奇偶性；
（3）证明函数f （x）在其定义域上是单调增函数；
（4）求函数f（x）的反函数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：对数函数的图象与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）要使函数有意义，则x+

x2+1

＞0，因为

x2+1

＞

x2

=|x|，所以x+

x2+1

＞0恒成立，所以定义域为R．
（2）f(-x)=lg?(-x+

x2+1

)=lg?

1

x+

x2+1

=lg?(x+

x2+1

)-1=-lg?(x+

x2+1

)=-f(x)，所以函数是奇函数．
（3）设x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=lg?

x1+

x

21

+1

x2+

x

22

+1

．令t=x+

x2+1

，因为函数是奇函数，所以当
则当0≤x₁＜x₂时，有x12＜x22，所以

x

21

+1

＜

x

22

+1

，即x1+

x

21

+1

＜x2+

x

22

+1

，所以0＜

x1+

x

21

+1

x2+

x

22

+1

＜1，即
lg

x1+

x

21

+1

x2+

x

22

+1

＜0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），所以函数f （x）在其定义域上是单调增函数．
（4）由y=lg?(x+

x2+1

)得x+

x2+1

=10y，即

x2+1

=10y-x，平方得x²+1=10^2y-2x?10^y+x²，解得x=

102y-1

2?10y

，
所以原函数的反函数为y=f-1(x)=

102x-1

2?10x

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=lg（x+x2+1）．（1）确定函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（..”的主要目的是检查您对于考点“高中对数函数的图象与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中对数函数的图象与性质”。

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