已知函数f（x）=log2+log2（x﹣1）+log2（p﹣x）．（1）当p=7时，求函数f（x）的定义域与值域；（2）求函数f（x）的定义域与值域．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=log2+log2（x﹣1）+log2（p﹣x）．（1）当p=7时，求函数f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-15 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=log₂

+log₂（x﹣1）+log₂（p﹣x）．
（1）当p=7时，求函数f（x）的定义域与值域；
（2）求函数f（x）的定义域与值域．

试题来源：月考题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：对数函数的解析式及定义（定义域、值域）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）由题意，可得

，∴1＜x＜7
又∵函数f（x）=log₂

+log₂（x﹣1）+log₂（7﹣x）
=log₂（x+1）（7﹣x）=log₂[﹣（x﹣3）2+16]．
令g（x）=﹣（x﹣3）²+16，
由于函数的定义域为{x|1＜x＜7}，则g（7）＜g（x）≤g（3），即0＜g（x）≤16，
所以函数f （x）的值域为（﹣∞，4]
（2）由题意，可得

，∴x＞1且x＜p
∵函数的定义域不能为空集，故p＞1，函数的定义域为（1，p）．
函数f（x）=log₂

+log₂（x﹣1）+log₂（p﹣x）
=log₂（x+1）（p﹣x）=log₂[﹣x2+（p﹣1）x+p]．
令t=﹣x²+（p﹣1）x+p=

=g（x）
①当

，即1＜p＜3时，t在（1，p）上单调减，
g（p）＜t＜g（1），即0＜t＜2p﹣2，
∴f（x）＜1+log₂（p﹣1），函数f（x）的值域为（﹣∞，log2（p﹣1））；
②当

，即p≥3时，g（p）＜t＜g（

），即0＜t≤

，
∴f（x）≤2log₂（p+1）﹣2，函数f（x）的值域为（﹣∞，2log₂（p+1）﹣2）．
综上：当1＜p＜3时，函数f（x）的值域为（﹣∞，log₂（p﹣1））；
当p≥3时，函数f（x）的值域为（﹣∞，2log₂（p+1）﹣2）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=log2+log2（x﹣1）+log2（p﹣x）．（1）当p=7时，求函数f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中对数函数的解析式及定义（定义域、值域）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中对数函数的解析式及定义（定义域、值域）”。

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