直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠ADC=90°，△ABC为等边三角形，且AA1=AD=DC=2，（Ⅰ）求异面直线AC1与BC所成的角余弦值；（Ⅱ）求证：BD⊥平面AC1；（Ⅲ）求二面角B-AC1-C的正切值。-数学试题及答案

1、试题题目：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠ADC=90°，△ABC为等边三角形，且AA1=A..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-22 07:30:00

试题原文

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠ADC=90°，△ABC为等边三角形，且AA₁=AD=DC=2，
（Ⅰ）求异面直线AC₁与BC所成的角余弦值；
（Ⅱ）求证：BD⊥平面AC₁；
（Ⅲ）求二面角B-AC₁-C的正切值。

试题来源：0101 期中题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：异面直线所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（Ⅰ）在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC∥B₁C₁，
∠AC₁B₁是异面直线AC₁与BC所成的角，
在△AC₁B₁中，AC₁=AB₁=

，C₁B₁=

，cos∠AC₁B₁=

，
故异面直线AC₁与BC所成的角的余弦值为

；
（Ⅱ）因为AD=DC，AB=BC，可得BD⊥AC（垂直平分线），
又CC₁⊥平面ABCD，AC为AC₁平面ABCD上的射影，
所以BD⊥平面AC₁；
（Ⅲ）设AC∩BD=O，
由（Ⅱ）得BD⊥平面ACC₁，
过O作OH⊥AC₁，垂足为H，连接BH，则BH⊥AC₁，
∠OHB为二面角B-AC₁-C的平面角，
在Rt△OBH中，OB=

，OH=

tan∠OHB=3，
故二面角B-AC₁-C的正切值为3。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠ADC=90°，△ABC为等边三角形，且AA1=A..”的主要目的是检查您对于考点“高中异面直线所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中异面直线所成的角”。

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