设抛物线C1：y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于点F1，焦点为F2；椭圆C2以F1、F2为焦点，离心率e=12．（I）（文科做）当m=1时，①求椭圆C2的标准方程；②若直线l与抛物线交于A、B两点，且线-数学试题及答案

1、试题题目：设抛物线C1：y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于点F1，焦点为F2；椭圆..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

设抛物线C₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于点F₁，焦点为F₂；椭圆C₂以F₁、F₂为焦点，离心率e=

1

2

．
（I）（文科做）当m=1时，
①求椭圆C₂的标准方程；
②若直线l与抛物线交于A、B两点，且线段AB恰好被点P（3，2）平分，设直线l与椭圆C₂交于M、N两点，求线段MN的长；
（II）（仅理科做）设抛物线C₁与椭圆C₂的一个交点为Q，是否存在实数m，，使得△QF₁F₂的边长是连续的自然数？若存在，求出这样的实数m的值；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）①∵c₁：y²=4mx的右焦点F₂（m，0）∴椭圆的半焦距c=m，
又e=

1

2

，∴椭圆的长半轴的长a=2m，短半轴的长b=

3

m．
椭圆方程为

x2

4m2

+

y2

3m2

=1，
∴当m=1时，故椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
②由题意得，若x=3，则y=±2

3

，线段AB不可能被点P（3，2）平分，
∴直线l的斜率k一定存在，不妨设直线l的方程为：y-2=k（x-3），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y2=4x

y-2=k(x-3)

得ky²-4y-12k+8=0，
∴y₁+y₂=

4

k

=4，∴k=1，
∴直线l的方程为：y-2=x-3，即y=x-1．
（II）假设存在满足条件的实数m，
由

y2=4mx

x2

4m2

+

y2

3m2

=1

，解得：Q(

2

3

m，

8

3

m)，
∴|QF2|=

2

3

m+m=

5

3

m，|QF1|=4m-|QF2|=

7

3

m，又|F1F2|=2m=

6

3

m．
即△QF₁F₂的边长分别是

5

3

m、

6

3

m、

7

3

m．
∵

6m

3

-

5m

3

=

7m

3

-

6m

3

=1∴m=3，
故存在实数m使△PF₁F₂的边长是连续的自然数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设抛物线C1：y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于点F1，焦点为F2；椭圆..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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