如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4．E是PD的中点，（1）求二面角E-AC-D的余弦值；（2）求直线CD与平面AEC所成角的正弦值．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-16 07:30:00

试题原文

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4．E是PD的中点，
（1）求二面角E-AC-D的余弦值；
（2）求直线CD与平面AEC所成角的正弦值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），
E（0，2，1），P（0，0，2）．
∴

AB

=（2，0，0），

AD

=（0，4，0），

AP

=（0，0，2），

CD

=（-2，0，0），

AE

=（0，2，1），

AC

=（2，4，0）．

（1）设平面AEC的法向量

n

=（x，y，z），令z=1，则

n

=（x，y，1）．
由

n

?

AE

=0

n

?

AC

=0

即

2y+1=0

2x+4y=0

，解得

x=1

Y=-

1

2

∴

n

=（1，-

1

2

，1）．
平面ABC的法向量

AP

=（0，0，2）．
cos＜

n

，

AP＞

=

n

?

AP

|

n

|?|

AP

|

=

2

3

2

×2

=

2

3

．
所以二面角E-AC-D所成平面角的余弦值是

2

3

．
（2）因为平面ABC的法向量是

n

=（1，-

1

2

，1），而

CD

=（-2，0，0）．
所以cosθ=

n

?

CD

|

n

|?|

CD

|

=

-2

3

2

×2

=-

2

3

．
直线CD与平面AEC的正弦值

2

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC..”的主要目的是检查您对于考点“高中用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：