已知等比数列{an}的首项、公比、前三项的平均值都等于常数a．（I）求数列{an}的通项公式；（II）设a≠1，n≥2，记bn=ana2n+an-2，Tn=b2+b3+…+bn．（i）证明：bn=-13[1(-2)n-1-1-1(-2)n--数学试题及答案

1、试题题目：已知等比数列{an}的首项、公比、前三项的平均值都等于常数a．（I）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知等比数列{a_n}的首项、公比、前三项的平均值都等于常数a．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设a≠1，n≥2，记bn=

an

a2n+an-2

，Tn=b2+b3+…+bn．
（i）证明：bn=-

1

3

[

1

(-2)n-1-1

-

1

(-2)n-1

]；
（ii）若Tn＞

7

60

，求n的所有可能取值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵等比数列{a_n}的首项、公比、前三项的平均值都等于常数a，
∴a+a²+a³=3a，a≠0，
∴a²+a-2=0，解得a=1，或a=-2，
故a_n=1，或an=(-2)n．
（II）（i）a_n=（-2）ⁿ，bn=

an

a2n+an-2

=

(-2)n

(-2)2n+(-2)n-2

，
∵-

1

3

[

1

(-2)n-1-1

-

1

(-2)n-1

]
=-

1

3

?

[(-2)n-1]-[(-2)n-1-1]

[(-2)n-1-1][(-2)n-1]

=-

1

3

?

(-2)n-(-2)n-1

(-2)2n-1-(-2)n-(-2)n-1+1

=-

1

3

?

-3(-2)n-1

(-2)2n-1+(-2)n-1+1

=

(-2)n-1?(-2)

[(-2)2n-1+(-2)n-1+1]?(-2)

=

(-2)n

(-2)2n+(-2)n-2

．
∴bn=-

1

3

[

1

(-2)n-1-1

-

1

(-2)n-1

]．
（ii）由（i）知：
Tn=-

1

3

(

1

-3

-

1

(-2)n-1

)＞

1

60

，
即

1

(-2)n-1

＞

1

60

，
若n为奇数，则

1

(-2)n-1

＜0，舍去
若n为偶数，则

1

2n-1

＞

1

60

，
即2ⁿ-1＜60，2ⁿ＜61＜64=2⁶，得n＜6，
故n=2或n=4．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知等比数列{an}的首项、公比、前三项的平均值都等于常数a．（I）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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