给出四个命题：①整系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程-数学试题及答案

1、试题题目：给出四个命题：①整系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若△为一个完全平方..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2014-11-6 7:30:00

试题原文

给出四个命题：①整系数方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根只能是无理数；④若a、b、c均为奇数，则方程ax²+bx+c=0没有有理数根，其中真命题是______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：偏易适用学段：初中考察重点：一元二次方程的解法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

①整系数方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；
∵方程的根为x=

-b±

b2-4ac

2a

，只有△为一个完全平方数，x才是有理数，所以方程必有有理根．故：①正确；
②整系数方程ax²+bx+c=0（a≠0）中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；
∵方程的根为x=

-b±

b2-4ac

2a

，方程若有有理根，只有△能够开完全平方，方程有有理数根．
故：②正确；
③无理数系数方程：

2

x-2

2

x+

2

=0的解是x=1，是有理数故：③错误．
④证明：
设方程有一个有理数根

n

m

（m，n是互质的整数）．
那么a（

n

m

）²+b（

n

m

）+c=0，即an²+bmn+cm²=0．
把m，n按奇数、偶数分类讨论，
∵m，n互质，∴不可能同为偶数．
①当m，n同为奇数时，则an²+bmn+cm62是奇数+奇数+奇数=奇数≠0；
②当m为奇数，n为偶数时，an²+bmn+cm²是偶数+偶数+奇数=奇数≠0；
③当m为偶数，n为奇数时，an²+bmn+cm²是奇数+偶数+偶数=奇数≠0．
综上所述不论m，n取什么整数，等式a（

n

m

）²+b（

n

m

）+c=0都不成立．
即假设方程有一个有理数根是不成立的．
∴当a，b，c都是奇数时，方程ax²+bx+c=0（a≠0）没有有理数根
故：④正确
故填：①②④．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“给出四个命题：①整系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若△为一个完全平方..”的主要目的是检查您对于考点“初中一元二次方程的解法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中一元二次方程的解法”。

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