△ABC中，已知3tanAtanB-tanA-tanB=3，记角A，B，C的对边依次为a，b，c．（1）求∠C的大小；（2）若c=2，且△ABC是锐角三角形，求a2+b2的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：△ABC中，已知3tanAtanB-tanA-tanB=3，记角A，B，C的对边依次为a，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-09 07:30:00

试题原文

△ABC中，已知

3

tanAtanB-tanA-tanB=

3

，记角A，B，C的对边依次为a，b，c．
（1）求∠C的大小；
（2）若c=2，且△ABC是锐角三角形，求a²+b²的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：两角和与差的三角函数及三角恒等变换

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）依题意：

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

3

，即tan(A+B)=-

3

，
又0＜A+B＜π，
∴A+B=

2π

3

，∴C=π-A-B=

π

3

，
（2）由三角形是锐角三角形可得

A＜

π

2

B＜

π

2

，
即

π

6

＜A＜

π

2

由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

∴a=

c

sinC

×sinA=

4

3

sinA，b=

4

3

sinB=

4

3

sin(

2π

3

-A)
，a2+b2=

16

3

[sin2A+sin2(

2π

3

-A)]=f(A)，
a2+b2=

16

3

[sin2A+sin2B]=

16

3

[

1

2

(1-cos2A)+

1

2

(1-cos2B)]
=

16

3

-

8

3

(cos2A+cos2B)=

16

3

-

8

3

[cos2A+cos(

4π

3

-2A)]
=

16

3

-

8

3

[cos2A+(-

1

2

)cos2A+(-

3

2

)sin2A]
=

16

3

-

8

3

[

1

2

cos2A-

3

2

sin2A]
=

16

3

+

8

3

sin(2A-

π

6

)，
∵

π

6

＜A＜

π

2

，∴

π

6

＜2A-

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin(2A-

π

6

)≤1，即

20

3

＜a2+b2≤8

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“△ABC中，已知3tanAtanB-tanA-tanB=3，记角A，B，C的对边依次为a，..”的主要目的是检查您对于考点“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”。

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