发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-11-20 07:30:00
| 试题原文 |
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| （1）由 nSn+1=（n+2）Sn+an+2 （*） 变形为n（Sn+1-Sn）=2Sn+an+2，而Sn是{an}前n项和，于是有nan+1=2Sn+an+2，a1=0， 在n=1，a2=2a1+a1+2=2，则a2=2，在n=2，2a3=2（a1+a2）+a2+2=4+4=8，则a3=4 （2）充分性：由（1）可猜测到：an=2n-2．下面先用数学归纳法证明：an=2n-2 ①在n=1时，a1=2×1-2=0 与已知 a1=0一致 故n=1时，an=2n-2成立． ②假设n=k时，an=2n-2成立， ∴Sk=a1+a2+…+ak=0+2+4+…+（2k-1）=k（k-1） ∵（*）式 nan+1=2Sn+an+2恒成立，则kan+1=2Sk+ak+2=2k（k-1）+（2k-2）+2=2k2 ∴ak+1=2k=2[（k+1）-1] 故n=k+1时，an=2n-2成立，综合①②可知：an=2n-2成立对n∈N*恒成立． ∴数列{an}的通项为an=2n-1，∴an-an-1=2（n≥2，n∈N+） 由等差数列定义可知{an}是等差数列，从而充分性得证． 必要性：由（1）可知 nan+1=2Sn+an+2恒成立，则（n-1）an=2Sn-1+an-1+2（n≥2）（**） 若{an}是等差数列，则an-an-1=d（n≥2），且an=a1+（n-1）d．代入（**） 式中有： n（an+1-an）=2an-an-1∴nd=an+d=a1+（n-1）d+d∴a1=0 从而必要性得证． 因此a1=0 是数列{an}为等差数列的充分条件． |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项之和Sn与an满足关系式：nSn+1=（n+2）Sn+an+2（n..”的主要目的是检查您对于考点“高中充分条件与必要条件”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中充分条件与必要条件”。