已知函数f(x)=3x+13x+1-1与g(x)=3xx+1．（1）证明：对?x∈[1，+∞），f（x）＜g（x）恒成立；（2）n∈N*时，证明：13+1+232-1+333+1+…+n3n+(-1)n-1+n+13n+1+(-1)n＜34．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=3x+13x+1-1与g(x)=3xx+1．（1）证明：对?x∈[1，+∞），f（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-22 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

3x+1

3x+1-1

与 g(x)=

3x

x+1

．
（1）证明：对?x∈[1，+∞），f（x）＜g（x）恒成立；
（2）n∈N^*时，证明：

1

3+1

+

2

32-1

+

3

33+1

+…+

n

3n+(-1)n-1

+

n+1

3n+1+(-1)n

＜

3

4

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：全称量词与存在性量词

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）∵f(x)=

3x+1

3x+1-1

，外函数y=

t+1

3t-1

是减函数，内函数t=3^x是增函数
∴f（x）在R上递减
∵g(x)=

3x

x+1

在[1，+∞）上是增函数
∴f（x）-g（x）在[1，+∞）是减函数
∴f（x）-g（x）≤f（1）-g（1）=-1＜0
（2）

n

3n+1

+

n+1

3n+1-1

＜

n

3n

+

n+1

3n+1

?

n

3n+1

-

n

3n

＜

n+1

3n+1

-

n+1

3n+1-1

?

-n

3n+1

＜

-(n+1)

3(3n+1-1)

?

3n+1

3n+1-1

＜

3n

n+1

已证
∴

n

3n+(-1)n-1

+

n+1

3n+1+(-1)n

＜

n

3n

+

n+1

3n+1

（n为奇数时）
∴当n为奇数时，

1

3+1

+

2

32-1

+…+

n

3n+1

+

n+1

3n+1-1

＜(

1

3

+

2

32

)+…+(

n

3n

+

n+1

3n+1

)
由错位相减法可得：

1

3

+

2

32

+…+

n+1

3n+1

=

3

4

-

1

4 ? 3n

-

n+1

2 ? 3n+1

＜

3

4

当n为偶数时，所求

1

3+1

+

2

32-1

+…+

n

3n-1

+

n+1

3n+1+1

＜

1

3+1

+…+

n+1

3n+1+1

+

n+2

3n+2-1

＜

3

4

綜上，原不等式成立，即

1

3+1

+

2

32-1

+

3

33+1

+…+

n

3n+(-1)n-1

+

n+1

3n+1+(-1)n

＜

3

4

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=3x+13x+1-1与g(x)=3xx+1．（1）证明：对?x∈[1，+∞），f（..”的主要目的是检查您对于考点“高中全称量词与存在性量词”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中全称量词与存在性量词”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：