已知x+2y=1，x∈R+，y∈R+，则x2y的最大值为_____

1、试题题目：已知x+2y=1，x∈R+，y∈R+，则x2y的最大值为______．

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

已知x+2y=1，x∈R⁺，y∈R⁺，则x²y的最大值为______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

法一：由x+2y=1，可得x=1-2y
∵x＞0，y＞0
∴

y＞0

1-2y＞0

∴0＜y＜

1

2

∴x²y=（1-2y）²y=

1

4

(1-2y)(1-2y)(4y)≤

1

4

?(

1-2y+1-2y+4y

3

)3
=

1

4

×

8

27

=

2

27

当且仅当1-2y=4y即y=

1

6

，x=

2

3

时取等号
则x²y的最大值为

2

27

故答案为

2

27

法二：由x+2y=1，可得x=1-2y
∴x²y=（1-2y）²y=4y³-4y²+y
∵x＞0，y＞0
∴

y＞0

1-2y＞0

∴0＜y＜

1

2

令f（y）=4y³-4y²+y（0＜y＜

1

2

），则f′（y）=12y²-8y+1
∵0＜y＜

1

2

令f′（y）＜0恒可得

1

6

＜y＜

1

2

令f′（y）≥0可得0＜y≤

1

6

∴函数f（y）=4y³-4y²+y在（

1

6

，

1

2

）单调递减，在（0，

1

6

]上单调递增
∴当y=

1

6

时取得最大值

2

27

故答案为

2

27

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知x+2y=1，x∈R+，y∈R+，则x2y的最大值为______．”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：