已知函数f（x）=4x-a1+x2在区间[m，n]上为增函数，（I）若m=0，n=1时，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若f（m）f（n）=-4．则当f（n）-f（m）取最小值时，（i）求实数a的值；（ii）若P（x1，y1），Q（x2，-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=4x-a1+x2在区间[m，n]上为增函数，（I）若m=0，n=1时..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

4x-a

1+x2

在区间[m，n]上为增函数，
（I）若m=0，n=1时，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f（m）f（n）=-4．则当f（n）-f（m）取最小值时，
（i）求实数a的值；
（ii）若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（a＜x₁＜x₂＜n）是f（x）图象上的两点，且存在实数x₀∈（a，n）使得f′（x₀）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

，证明：x₁＜x₀＜x₂．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）若m=0，n=1，由已知函数f（x）=

4x-a

1+x2

在区间[0，1]上为增函数，
可得 f′（x）=

4(1+x2)-2x(4x-a)

(1+x2)2

=

-2(2x2-ax-2)

(1+x2)2

在区间[0，1]上恒正，
故有

f′(0)≥0

f′(1)≥0

，解得a≥0，故实数a的取值范围为[0，+∞）．
（Ⅱ）（i）因为f（n）-f（m）=f（n）+[-f（m）]≥2

f(n)[-f(m)]

=2

4

=4，当且仅当f（n）=-f（m）=2时等号成立．
由f（n）=

4n-a

1+n2

，有-a=2（n-1）²≥0，得a≤0；由f（m）=

4m-a

1+m2

，有a=2（m+1）²≥0，得a≥0；（10分）
故f（n）-f（m）取得最小值时，a=0，n=1．
（ii）此时，f′（x₀）=

4(1-x02)

(1+x02)2

，

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

4(1-x1?x2)

(1+x12)(1+x22)

，
由f′（x₀）=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

，可得

(1-x02)

(1+x02)2

=

1-x1?x2

(1+x12)(1+x22)

．
欲证x₁＜x₀＜x₂，先比较

(1-x02)

(1+x02)2

与

(1-x12)

(1+x12)2

的大小．
由于

(1-x02)

(1+x02)2

-

(1-x12)

(1+x12)2

=

1-x1?x2

(1+x12)(1+x22)

-

(1-x12)

(1+x12)2

=

(x1-x2)(2x1+x2-x12 ?x2)

(1+x12)(1+x22)

=

(x1-x2)[x1(2-x1?x2) x2]

(1+x12)(1+x22)

．

因为0＜x₁＜x₂＜1，所以0＜x₁x₂＜1，有x₁（2-x₁x₂）+x₂＞0，
于是（x₁-x₂）[x₁（2-x₁x₂）+x₂]＜0，即

(1-x02)

(1+x02)2

-

(1-x12)

(1+x12)2

＜0．
另一方面，

(1-x02)

(1+x02)2

-

(1-x12)

(1+x12)2

=

(x12-x02)[ 3+x12+x02-x12?x02]

(1+x02)(1+x12)

，

因为0＜x₁²x₀²＜1，所以3+x₁²+x₀²-x₁²x₀²＞0，从而x₁²-x₀²＜0，即x₁＜|x₀|．
同理可证x₀＜x₂，因此x₁＜|x₀|＜x₂．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=4x-a1+x2在区间[m，n]上为增函数，（I）若m=0，n=1时..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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