已知函数f(x)=4x4x+2（1）试求f(1n)+f(n-1n)(n∈N*)的值；（2）若数列{an}满足an=f（0）+f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)+f（1）（n∈N*），求数列{an}的通项公式；（3）若数列{bn}满足bn=2n+1?an，-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=4x4x+2（1）试求f(1n)+f(n-1n)(n∈N*)的值；（2）若数列..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

4x

4x+2

（1）试求f(

1

n

)+f(

n-1

n

)(n∈N*)的值；
（2）若数列{a_n}满足a_n=f（0）+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f（1）（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式；
（3）若数列{b_n}满足b_n=2ⁿ⁺¹?a_n，S_n是数列{b_n}前n项的和，是否存在正实数k，使不等式knS_n＞4b_n对于一切的n∈N^*恒成立？若存在指出k的取值范围，并证明；若不存在说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（本小题满分16分）
（1）∵f（x）+f（1-x）=

4x

4x+2

+

41-x

41-x+2

=

4x

4x+2

+

4

4+2?4x

=1
∴f（

1

n

）+f（

n-1

n

）=1．（5分）
（2）∵a_n=f（0）+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f（1）（n∈N^*），①
∴an=f(1)+f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+…+f（

1

n

）+f（0）（n∈N^*），②
由（1），知 f（

1

n

）+f（

n-1

n

）=1，
∴①+②，得2a_n=n+1，
∴an=

n+1

2

．（10分）
（3）∵bn=2n+1?an，∴bn=(n+1)?2n，
∴Sn=2?21+3?22+4?23+…+（n+1）?2ⁿ，①
∴2S_n=2?2²+3?2³+4?2⁴+…+n?2ⁿ+（n+1）?2ⁿ⁺¹，②
①-②得-Sn=4+22+23+…+2n-(n+1)?2n+1，
即S_n=n?2ⁿ⁺¹，（12分）
要使得不等式knS_n＞4b_n恒成立，即kn²-2n-2＞0对于一切的n∈N^*恒成立，
n=1时，k-2-2＞0成立，即k＞4．
设g（n）=kn²-2n-2，
当k＞4时，由于对称轴直线n=

1

k

＜1，且 g（1）=k-2-2＞0，而函数f（x）在[1，+∞）是增函数，
∴不等式knS_n＞b_n恒成立，
即当k＞4时，不等式knS_n＞b_n对于一切的n∈N^*恒成立 …（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=4x4x+2（1）试求f(1n)+f(n-1n)(n∈N*)的值；（2）若数列..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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