已知函数f（x）=x2+alnx．（1）当a=-2e时，求函数f（x）的单调区间和极值．（2）若函数g(x)=f(x)+2x在[1，4]上是减函数，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2+alnx．（1）当a=-2e时，求函数f（x）的单调区间和极值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²+alnx．
（1）当a=-2e时，求函数f（x）的单调区间和极值．
（2）若函数g(x)=f(x)+

2

x

在[1，4]上是减函数，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
当a=-2e时，f′（x）=2x-

2e

x

=

2(x-

e

)(x+

e

)

x

（2分），
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：

x

(0，

e

)

e

(

e

，+∞)

f'（x）

-

0

+

f（x）

极小值

∴f（x）的单调递减区间是（0，

e

）；单调递增区间是（

e

，+∞）．
极小值是f（

e

）=0．（6分）
（2）由g（x）=x²+alnx+

2

x

，得g′（x）=2x+

a

x

-

2

x2

（8分）
又函数g（x）=x²+alnx+

2

x

为[1，4]上的单调减函数．
则g'（x）≤0在[1，4]上恒成立，
所以不等式2x+

a

x

-

2

x2

≤0在[1，4]上恒成立，
即a≤

2

x

-2x²在[1，4]上恒成立．（10分）
设φ（x）=

2

x

-2x²，显然?（x）在[1，4]上为减函数，
所以?（x）的最小值为?（4）=-

63

2

．
∴a的取值范围是a≤-

63

2

．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2+alnx．（1）当a=-2e时，求函数f（x）的单调区间和极值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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