已知函数f(x)=13x3+12(b-1)x2+cx+d（a，b，c，d∈R）．（1）若函数f（x）在x=1，x=2处取得极值，求b，c的值；（2）若函数f（x）在区间（-∞，x1），（x2，+∞）上为增函数，在（x1，x2）上为减函-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=13x3+12(b-1)x2+cx+d（a，b，c，d∈R）．（1）若函数f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

(b-1)x2+cx+d（a，b，c，d∈R）．
（1）若函数f（x）在x=1，x=2处取得极值，求b，c的值；
（2）若函数f（x）在区间（-∞，x₁），（x₂，+∞）上为增函数，在（x₁，x₂）上为减函数，且x₂-x₁＞1，求证：b²＞2（b+2c）；
（3）在（2）的条件下，当t＜x₁时，试比较t²+bt+c与x₁的大小．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f'（x）=x²+（b-1）x+c，由题意知1、2是方程x²+（b-1）x+c=0两根，
∴

-(b-1)=1+2

c=1×2

，
∴b=-2，c=2；
（2）由题意知，当x∈（-∞，x₁）、（x₂，+∞）时，f'（x）＞0；
当x∈（x₁，x₂）时，f'（x）＜0，
∴x₁，x₂是x²+（b-1）x+c=0两根，x₁+x₂=1-b，x₁x₂=c，
∴b²-2（b+2c）=b²-2b-4c=[1-（x+x）²]-2[1-（x₁+x₂）]-4x₁x₂=（x+x）²-1，
∵x₁-x₂＞1，∴（x+x）²-1＞0，
∴b²＞2（b+2c）．
（3）在（2）下，由上题知x²+（b-1）x+c=（x-x₁）（x-x₂），即x²+bx+c=（x-x₁）（x-x₂）+x，
∴t²+bt+c-x₁=（t-x₁）（t-x₂）+t-x₁=（t-x₁）（t+1-x₂）．
∵x₂＞1+x₁＞1+t，
∴1+t-x₂＜0．
∵0＜t＜x₁，∴t-x₁＜0，
∴（t-x₁）（t+1-x₂）＜0，
∴t²+bt+c＞x₁．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=13x3+12(b-1)x2+cx+d（a，b，c，d∈R）．（1）若函数f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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