已知直线l与函数f（x）=lnx的图象相切于点（1，0），且l与函数g(x)=12x2+mx+72（m＜0）的图象也相切．（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；（Ⅱ）设h(x)=ag(x)-f(x)+2ax-72a，若h(x)≥12恒成立，求-数学试题及答案

1、试题题目：已知直线l与函数f（x）=lnx的图象相切于点（1，0），且l与函数g(x)=1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知直线l与函数f（x）=lnx的图象相切于点（1，0），且l与函数g(x)=

1

2

x2+mx+

7

2

（m＜0）的图象也相切．
（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；
（Ⅱ）设h(x)=ag(x)-f(x)+2ax-

7

2

a，若h(x)≥

1

2

恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：淄博二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f′(x)=

1

x

，直线l是函数f（x）=lnx的图象在点（1，0）处的切线，
∴其斜率为k=f′（1）=1
∴直线l的方程为y=x-1．
又因为直线l与g（x）的图象相切，
由

y=x-1

y=

1

2

x2+mx+

7

2

?

1

2

x2+(m-1)x+

9

2

=0，
得△=（m-1）²-9=0?m=-2（m=4不合题意，舍去）
（Ⅱ）∵g(x)=

1

2

x2-2x+

7

2

由h(x)=

a

2

x2-2ax+

7a

2

-lnx+2ax-

7a

2

=

a

2

x2-lnx≥

1

2

恒成立，
得a≥

1+2lnx

x2

(x＞0)恒成立
设?(x)=

1+2lnx

x2

，则?′(x)=

-4lnx

x3

当0＜x＜1时，?′（x）＞0；当x＞1时，?′（x）＜0．
于是，?（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
故φ（x）的最大值为?_max（x）=?（1）=1
要使a≥?（x）恒成立，只需a≥1，
∴a的取值范围为[1，+∞）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知直线l与函数f（x）=lnx的图象相切于点（1，0），且l与函数g(x)=1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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