已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）满足条件：对任意实数x都有f（x）≥2x；且当0＜x＜2时，总有f(x)≤12(x+1)2成立．（1）求f（1）的值；（2）求f（-1）的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）满足条件：对任意实数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）满足条件：对任意实数x都有f（x）≥2x；且当0＜x＜2时，总有f(x)≤

1

2

(x+1)2成立．
（1）求f（1）的值；
（2）求f（-1）的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵对任意实数x都有f（x）≥2x，
∴f（1）≥2．
∵当0＜x＜2时，总有f(x)≤

1

2

(x+1)2成立，
∴f（1）≤

1

2

(1+1)2=2，
∴f（1）=2．（3分）
（2）∵f（1）=a+b+c=2，
对任意实数x都有f（x）≥2x，
即ax²+（b-2）x+c≥0恒成立，
∴

a＞0

(b-2)2-4ac≤0

，
∴b-2=-（a+c），
∴[-（a+c）]²-4ac≤0，
即（a-c）²≤0，
∴a=c＞0，b=2-2a．（5分）
∵f(x)≤

1

2

(x+1)2，
∴2f（x）≤（x+1）²，
即2[ax²+（2-2a）x+a]≤（x+1）²，
整理得（2a-1）x²+（2-4a）x+2a-1≤0，
即（2a-1）（x-1）²≤0，
∵当0＜x＜2时，它恒成立，
∴0＜a≤

1

2

．
∴f（-1）=a-b+c=4a-2的取值范围是（-2，0]．（10分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）满足条件：对任意实数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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