已知与曲线C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l分别交x、y轴于A、B两点，O为原点，|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．（1）求证：若曲线C与直线l相切，则有（a-2）（b-2）=2；（2）求线段AB中点的轨-数学试题及答案

1、试题题目：已知与曲线C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l分别交x、y轴于A、B两点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-11 07:30:00

试题原文

已知与曲线C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线l分别交x、y轴于A、B两点，O为原点，|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．
（1）求证：若曲线C与直线l相切，则有（a-2）（b-2）=2；
（2）求线段AB中点的轨迹方程；
（3）求△AOB面积的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意知A（a，0），B（0，b），∴直线l方程为

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0
曲线C表示一个圆，圆心C（1，1），半径r=1…（2分）∵直线与圆相切，∴

|a+b-ab|

a2+b2

=1，…（4分）
两边平方整理得ab+2-2a-2b=0，即（a-2）（b-2）=2…（5分）
（2）设线段AB中点为M（x，y），由中点坐标公式得x=

a

2

＞1，y=

b

2

＞1，即…（7分）a=2x，b=2y，代入（a-2）（b-2）=2得（2x-2）（2y-2）=2…（8分）
整理得AB中点M的轨迹方程为(x-1)(y-1)=

1

2

(x＞1，y＞1)…（9分）
（3）S△AOB=

1

2

ab=

1

2

[-2+2(a+b)]=-1+a+b=（a-2）+（b-2）+3≥3+2

(a-2)?(b-2)

=3+2

2

…（11分）（当且仅当a-2=b-2，又（a-2）（b-2）=2，即a=b=2+

2

时取得等号）…（12分）
故△AOB面积的最小值为3+2

2

…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知与曲线C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l分别交x、y轴于A、B两点..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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