函数f（x）定义域为C，若满足①f（x）在C内是单调函数；②存在[m，n]?D使f（x）在[m，n]上的值域为[m2，n2]，那么就称y=f（x）为“希望函数”，若函数f（x）=loga（ax+t）（a＞0，a≠1）是“希望函-数学试题及答案

1、试题题目：函数f（x）定义域为C，若满足①f（x）在C内是单调函数；②存在[m，n]?D..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-11 07:30:00

试题原文

函数f（x）定义域为C，若满足①f（x）在C内是单调函数；②存在[m，n]?D使f（x）在[m，n]上的值域为[

m

2

，

n

2

]，那么就称y=f（x）为“希望函数”，若函数f（x）=log_a（a^x+t）（a＞0，a≠1）是“希望函数”，则t取值范围为______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

因为函数f（x）=log_a（a^x+t）在其定义域内为增函数，则若函数y=f（x）为“希望函数”，
方程f（x）=

1

2

x必有两个不同实数根，
∵log_a（a^x+t）=

1

2

x?a^x+t=a

1

2

x?a^x-a

1

2

x+t=0，
令m=a

1

2

x
∴方程m²-m+t=0有两个不同的正数根，
∴

△=1-4t＞0

t＞0

∴t∈（0，

1

4

）
故答案为：（0，

1

4

）
法二：依题意，函数g（x）=log_a（a^x+t）（a＞0，a≠1）在定义域上为单调递增函数，且t≥0，
而t=0时，g（x）=x不满足条件②，
∴t＞0．设存在[m，n]，使得g（x）在[m，n]上的值域为[

1

2

m，

1

2

n]，
∴

loga(am+t)=

1

2

m

loga(an+t)=

1

2

n

即

a

1

2

m=am+t

a

1

2

n=an+t

∴m，n是方程（a^x）²-a^x+t=0的两个不等正实根，
∴△=1-4t＞0，且t＞0
∴0＜t＜

1

4

故答案为：（0，

1

4

）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）定义域为C，若满足①f（x）在C内是单调函数；②存在[m，n]?D..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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