已知b＞-1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x2+bx+c的图象相切．（Ⅰ）求b与c的关系式（用c表示b）；（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）g（x），（ⅰ）当c=4时，在函数F（x）的图象上是否存在点M（x0，-数学试题及答案

1、试题题目：已知b＞-1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x2+bx+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

已知b＞-1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x²+bx+c的图象相切．
（Ⅰ）求b与c的关系式（用c表示b）；
（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）g（x），
（ⅰ）当c=4时，在函数F（x）的图象上是否存在点M（x₀，y₀），使得F（x）在点M的切线斜率为

b

3

，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
（ⅱ）若函数F（x）在（-∞，+∞）内有极值点，求c的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）依题意，令f′(x)=g′(x)，得2x+b=1，故x=

1-b

2

．由于f(

1-b

2

)=g(

1-b

2

)，得(b+1)2=4c．
∵b＞-1，c＞0，
∴b=-1+2

c

．
（Ⅱ）由题意可得：F（x）=f（x）g（x）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc，所以F′（x）=3x²+4bx+b²+c．
（ⅰ）当c=4时，则b=3，
所以F（x）=f（x）g（x）=x³+6x²+13x+12，所以F′（x）=3x²+12x+13，
若存在满足条件的点M，则有：F′（x）=3x²+12x+13=1，
解得：x=-2，y=2，
所以这样的点M存在，且坐标为（-2，2）．
（ⅱ）由题意可得：F（x）=f（x）g（x）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc，所以F′（x）=3x²+4bx+b²+c．
令F′（x）=0，即3x²+4bx+b²+c=0；所以△=16b²-12（b²+c）=4（b²-3c），
若△=0，则F′（x）=0有两个相等的实根，设为x₀，此时F′（x）的变化如下：

x	（-∞，x₀）	x₀	（x₀，+∞）
F′（x）	+	0	+

于是x=x₀不是函数F（x）的极值点．
若△＞0，则F′（x）=0有两个不相等的实根x₁，x₂（x₁＜x₂）且F′（x）的变化如下：

x	（-∞，x₁）	x₁	（x₁，x₂）	x₂	（x₂，+∞）
F′（x）	+	0	-	0	+

由此，x=x₁是函数F（x）的极大值点，x=x₂是函数F（x）的极小值点．
综上所述，当且仅当△＞0时，函数F（x）在（-∞，+∞）上有极值点.

由△=4(b2-3c)＞0得b＜-

3c

或b＞

3c

．∵b=-1+2

c

，
∴-1+2

c

＜

3c

或-1+2

c

＞

3c

.

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知b＞-1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x2+bx+..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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