已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足条件f（x）+f（y）=2+f（x+y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）=5．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）求不等式f（a2﹣2a﹣2）＜3的解集．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足条件f（x）+f（y）=2+f（x+y..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足条件f（x）+f（y）=2+f（x+y），且当x＞0时，
f（x）＞2，f（3）=5．
（1）判断函数f（x）的单调性；
（2）求不等式f（a²﹣2a﹣2）＜3的解集．

试题来源：同步题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）设x₁＜x₂，则x₂﹣x₁＞0，
∵x＞0，f（x）＞2；
∴f（x₂﹣x₁）＞2；
即f（x₂）=f[（_x2﹣x₁）+x₁]=f（x₂﹣x₁）+f（x₁）﹣2＞2+f（x₁）﹣2=f（x₁），
即f（x₂）＞f（x₁）．
所以：函数f（x）为单调增函数
（2）∵f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）﹣2=[f（1）+f（1）﹣2]+f（1）﹣2=3f（1）﹣4=5
∴f（1）=3．即f（a²﹣2a﹣2）＜3

f（a²﹣2a﹣2）＜f（1）
∴a²﹣2a﹣2＜1

a²﹣2a﹣3＜0
解得不等式的解为：﹣1＜a＜3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）对任意x，y∈R，满足条件f（x）+f（y）=2+f（x+y..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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