已知An（an，bn）（n∈N*）是曲线y=ex上的点，a1=a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：Sn2=3n2an+S2n-1，a≠0，n=2，3，4…（1）证明：数列(bn+2bn)(n≥2)是常数数列；（2）确定a的取值集合-数学试题及答案

1、试题题目：已知An（an，bn）（n∈N*）是曲线y=ex上的点，a1=a，Sn是数列{an}的前..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

已知A_n（a_n，b_n）（n∈N^*）是曲线y=e^x上的点，a₁=a，S_n是数列{a_n}的前n项和，且满足：Sn2=3n2an+

S

2n-1

，a≠0，n=2，3，4…
（1）证明：数列(

bn+2

bn

)(n≥2)是常数数列；
（2）确定a的取值集合M，使得当a∈M时，数列{a_n}是单调递增数列；
（3）证明：当a∈M时，弦A_nA_n+1（n∈N^*）的斜率随n单调递增．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的概念及简单表示法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）当n≥2时，由已知得S_n²-S_n-1²=3n²a_n，
因为a_n=S_n-S_n-1≠0，所以S_n+S_n-1=3n²①，
于是S_n+1+S_n=3（n+1）²②，
由②-①得a_n+1+a_n=6n+3③，
于是a_n+2+a_n+1=6n+9④，
由④-③得a_n+2-a_n=6⑤，
A_n（a_n，b_n）（n∈N^*）是曲线y=e^x上的点，所以b_n=e^a_n所以

bn+2

bn

=e^a_n+2-a_n=e⁶，是常数，即数列{

bn+2

bn

}（n≥2）是常数数列．
（II）由①有S₂+S₁=12，所以a₂=12-2a、由③有a₃+a₂=15，a₄+a₃=21，所以a₃=3+2a，a₄=18-2a．
而⑤表明：数列{a_2k}和{a_2k+1}分别是以a₂，a₃为首项，6为公差的等差数列，
所以a_2k=a₂+6（k-1），a_2k+1=a₃+6（k-1），a_2k+2=a₄+6（k-1）（k∈N*），
数列{a_n}是单调递增数列?a₁＜a₂且a_2k＜a_2k+1＜a_2k+2对任意的k∈N*成立．
?a₁＜a₂且a₂+6（k-1）＜a₃+6（k-1）＜a₄+6（k-1）
?a₁＜a₂＜a₃＜a₄?a＜12-2a＜3+2a＜18-2a
?

9

4

＜a＜

15

4

．
即所求a的取值集合是M={a|

9

4

＜a＜

15

4

}．
（III）弦A_nA_n+1的斜率为k_n=

bn+1-bn

an+1-an

=

ean+1-ean

an+1-an

，
任取x₀，设函数f（x）=

ex-ex0

x-x0

，则f（x）=

ex(x-x0)-(ex-ex0)

(x-x0)2

，
记g（x）=e^x（x-x0）-（e^x-e^x₀），则g'（x）=e^x（x-x₀）+e^x-e^x=e^x（x-x₀），
当x＞x₀时，g′（x）＞0，g（x）在（x₀，+∞）上为增函数，
当x＜x₀时，g′（x）＜0，g（x）在（-∞，x₀）上为减函数，
所以x≠x₀时，g（x）＞g（x₀）=0，从而f′（x）＞0，
所以f（x）在（-∞，x₀）和（x₀，+∞）上都是增函数．
由（II）知，a∈M时，数列{a_n}单调递增，
取x₀=a_n，因为a_n＜a_n+1＜a_n+2，所以k_n=

ean+1-ean

an+1-an

＜

ean+2-ean

an+2-an

．
取x₀=a_n+2，因为a_n＜a_n+1＜a_n+2，所以k_n+1=

ean+1-ean+2

an+1-an+2

＞

ean-ean+2

an-an+2

．
所以k_n＜k_n+1，即弦A_nA_n+1（n∈N^*）的斜率随n单调递增．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知An（an，bn）（n∈N*）是曲线y=ex上的点，a1=a，Sn是数列{an}的前..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的概念及简单表示法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的概念及简单表示法”。

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