已知数列{an}中，a1=3，a2=5，其前n项和Sn满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1（n≥3）．令bn=1an?an+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若f（x）=2x-1，求证：Tn=b1f（1）+b2f（2）+…+bnf（n）＜16（n≥1）．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，a1=3，a2=5，其前n项和Sn满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n项和S_n满足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3）．令b_n=

1

an?an+1

．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若f（x）=2^x-1，求证：Tn=b₁f（1）+b₂f（2）+…+b_nf（n）＜

1

6

（n≥1）．

试题来源：东莞一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的概念及简单表示法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意知S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3）
即a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3）
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂
=2^n-1+2^n-2+…+2²+5
=2ⁿ+1（n≥3）
检验知n=1、2时，结论也成立，故a_n=2ⁿ+1．
（Ⅱ）由于bnf(n)=

1

(2n+1)(2n+1+1)

-2n-1
=

1

2

-

(2n+1+1)-(2n+1)

(2n+1)(2n+1+1)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)．
故T_n=b₁f（1）+b₂f（2）+…+b_nf（n）
=

1

2

[(

1

1+2

-

1

1+22

)+(

1

1+22

-

1

1+23

)+…+(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)]
=

1

2

(

1

1+2

-

1

2n+1+1

) ＜

1

2

-

1

1+2

=

1

6

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，a1=3，a2=5，其前n项和Sn满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的概念及简单表示法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的概念及简单表示法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：