已知与向量e=（1，3）平行的直线l1过点A（0，-23），椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的中心关于直线l1的对称点在直线x=a2c（c2=a2-b2）上，且直线l1过椭圆C的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）-数学试题及答案

1、试题题目：已知与向量e=（1，3）平行的直线l1过点A（0，-23），椭圆C：x2a2+y2b2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知与向量

e

=（1，

3

）平行的直线l₁过点A（0，-2

3

），椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的中心关于直线l₁的对称点在直线x=

a2

c

（c²=a²-b²）上，且直线l₁过椭圆C的焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-2，0）的直线l₂交椭圆C于M，N两点，若∠MON≠

π

2

，且（

OM

?

ON

）?sin∠MON=

4

6

3

，（O为坐标原点），求直线l₁₂的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解（Ⅰ）由题意得直线l₁的方程为y=

3

x-2

3

，①
过原点垂直于l₁的直线方程为y=-

3

x②
解①②得：x=

3

2

因为椭圆中心O（0，0）关于直线l₁的对称点在直线x=

a2

c

上，
∴

a2

c

=3
又∵直线l₁过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0），
∴c=2，a²=6，b²=2
故椭圆C的方程为

x2

6

+

y2

2

=1③
（II）当直线l₁的斜率存在时，
设直线l₁的方程为y=k（x+2），代入③并整理得：
（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
则x₁+x₂=-

12k2

3k 2+1

，x₁x₂=

12k2-6

3k 2+1

∴|MN|=

1+k．2

|x₁-x₂|=

1+k．2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

6

(1+k2)

3k 2+1

坐标原点O到直线l₂的距离d=

|2k|

1+k2

．
∵（

OM

?

ON

）?sin∠MON=

4

6

3

，即S_△MON=

2

6

3

而S_△MON=

1

2

||MN|d
∴|NM|d=

4

6

3

，即

2

6

(1+k2)

3k 2+1

|2k|

1+k2

=

4

6

3

解得k=±

3

，此时直线l₂的方程为y=±

3

（x+2）
当直线l₂的斜率不存在时，直线l₂的方程为x=-2
此时点M（-2，

6

3

），N（-2，-

6

3

），满足S_△MON=

2

6

3

，
综上得，直线l₂的方程为x=-2或±

3

y+2=0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知与向量e=（1，3）平行的直线l1过点A（0，-23），椭圆C：x2a2+y2b2..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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