如图：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，E，F分别是线段AB，BC上的点，且EB=FB=1．（1）求二面角C-DE-C1的大小；（2）求异面直线EC1与FD1所成角的大小；（3）求异面-数学试题及答案

1、试题题目：如图：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，E，F分别..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-16 07:30:00

试题原文

如图：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=4，AD=3，AA₁=2，E，F分别是线段AB，BC上的点，且EB=FB=1．
（1）求二面角C-DE-C₁的大小；
（2）求异面直线EC₁与FD₁所成角的大小；
（3）求异面直线EC₁与FD₁之间的距离．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）以A为原点

AB

，

AD

，

AA1

分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D（0，3，0），D₁（0，3，2），E（3，0，0），F（4，1，0），C₁（4，3，2）．（1分）
于是

DE

=（3，-3，0），

EC1

=（1，3，2），

FD1

=（-4，2，2）（3分）
设向量n=（x，y，z）与平面C₁DE垂直，则有

n⊥

DE

n⊥

EC1

?

3x-3y=0

x+3y+2z=0

?x=y=-

1

2

z．
∴n=（-

z

2

，-

z

2

，z）=

z

2

（-1，-1，2），其中z＞0．取n₀=（-1，-1，2）
，则n₀是一个与平面C₁DE垂直的向量，（5分）
∵向量

AA1

=（0，0，2）与平面CDE垂直，∴n₀与

AA1

所成的角θ为二面角C-DE-C₁的平面角．（6分）
∴cosθ=

n0?

AA1

|n0||

AA1

|

=

-1×0-1×0+2×2

1+1+4

×

0+0+4

=

6

3

．（7分）
故二面角C-DE-C₁的大小为arccos

6

3

．（8分）
（2）设EC₁与FD₁所成角为β，（1分）
则cosβ=

EC1

?

FD1

|

EC1

||

FD1

|

=

1×(-4)+3×2+2×2

1+1+4

×

0+0+4

=

21

14

（10分）
故异面直线EC₁与FD₁所成角的大小为arccos

21

14

（11分）
（3）设

m

=（x，y，z）

m

⊥

EC1

m

⊥

FD1

?

m

=(

1

7

，-

5

7

，1)又取D1

C1

=(4，0，0)$}}\over m}=（\frac{1}{7}，-\frac{5}{7}，1）$$}}\over C}_1}=（4，0，0）$（13分）
设所求距离为d，则d=

|

m

?D1

C1

|

m

|

=

4

3

15

$}}\over C}}_1}|}}{|\vec m|}=\frac{{4\sqrt{3}}}{15}$（14分）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，E，F分别..”的主要目的是检查您对于考点“高中用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：