平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F1（0，-c），F2（0，c），A（3c，0）三点，其中c＞0．（1）求⊙M的标准方程（用含c的式子表示）；（2）已知椭圆y2a2+x2b2=1(a＞b＞0)（其中a2-b2=c2）的左、-数学试题及答案

1、试题题目：平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F1（0，-c），F2（0，c），A（3c，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-22 07:30:00

试题原文

平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F₁（0，-c），F₂（0，c），A（

3

c，0）三点，其中c＞0．
（1）求⊙M的标准方程（用含c的式子表示）；
（2）已知椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)（其中a²-b²=c²）的左、右顶点分别为D、B，⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧．
①求椭圆离心率的取值范围；
②若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线MF₁与直线DF₂的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．

试题来源：南通模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线的方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设⊙M的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则由题设，得

c2-Ec+F=0

c2+Ec+F=0

3c2+

3

Dc+F=0

解得

D=-

2

3

c

E=0

F=-c2

⊙M的方程为x2+y2-

2

3

cx-c2=0，
⊙M的标准方程为(x-

3

c)2+y2=

4

3

c2；（5分）
（2）⊙M与x轴的两个交点A(

3

c，0)，C(-

3

c，0)，
又B（b，0），D（-b，0），
由题设

3

c＞b

-

3

c＞-b

即

3

c＞b

3

c＜b

所以

3c2＞a2-c2

1

3

c2＜a2-c2

解得

1

2

＜

c

a

＜

3

2

，
即

1

2

＜e＜

3

2

．所以椭圆离心率的取值范围为(

1

2

，

3

2

)；（10分）
（3）由（1），得M(

3

c，0)．
由题设，得

3

c-b=b-

3

c=

3

c．
∴b=

2

3

c，D(-

2

3

c，0)．
∴直线MF₁的方程为

x

3

c

-

y

c

=1，
①直线DF₂的方程为-

x

2

3

c

+

y

c

=1．
②由①②，得直线MF₁与直线DF₂的交点Q(

4

3

c，3c)，
易知kOQ=

3

4

为定值，
∴直线MF₁与直线DF₂的交点Q在定直线y=

3

4

x上．（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F1（0，-c），F2（0，c），A（3c，..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线的方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线的方程”。

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