数列{an}满足递推式an=3an-1+3n-1（n≥2），其中a4=365，（Ⅰ）求a1，a2，a3；（Ⅱ）若存在一个实数λ，使得{an+λ3n}为等差数列，求λ值；（Ⅲ）求数列{an}的前n项之和．-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}满足递推式an=3an-1+3n-1（n≥2），其中a4=365，（Ⅰ）求a1，a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

数列{a_n}满足递推式a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2），其中a₄=365，
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）若存在一个实数λ，使得{

an+λ

3n

}为等差数列，求λ值；
（Ⅲ）求数列{a_n}的前n项之和．

试题来源：烟台三模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由a_n=3a_n-1+3ⁿ-1，及a₄=365知a₄=3a₃+3⁴-1=365，则a₃=95
同理求得a₂=23，a₁=5
（Ⅱ）∵{

an+λ

3n

}为一个等差数列，于是设

an+λ

3n

=xn+y
∴a_n=（xn+y）?3ⁿ-λ，又由a₁=5，a₂=23，a₃=95
知

5=a1=(x+y)?3-λ

23=a2=(2x+y)?9-λ

95=a3=(3x+y)?27-λ

&求得λ=-

1

2

，x=1，y=

1

2

∴an=(n+

1

2

)?3n+

1

2

，而an=(n+

1

2

)?3n+

1

2

满足递推式
因此λ=-

1

2

．
（Ⅲ）∵an=(n+

1

2

)?3n+

1

2

先求bn=(n+

1

2

)?3n的前n项和
记Tn=(1+

1

2

)?3n+(2+

1

2

)?32+…+(n+

1

2

)?3n
则3Tn=(1+

1

2

)?32+(2+

1

2

)?33+…+(n+

1

2

)?3n+1
由上两式相减
Tn-3Tn=(1+

1

2

)3+32+33+…+3n-(n+

1

2

)?3n+1
-2Tn=

9

2

+

32-3n+1

1-3

-(n+

1

2

)?3n+1=

9

2

+

1

2

(3n+1-9)-(n+

1

2

)?3n+1
=-n?3ⁿ⁺¹
Tn=

1

2

n?3n+1
因此{an}?前n项和为Tn+

n

2

=

n

2

?3n+1+

n

2

=

n

2

(3n+1+1)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}满足递推式an=3an-1+3n-1（n≥2），其中a4=365，（Ⅰ）求a1，a..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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